Teoria dos jogos e o dilema do prisioneiro

A Teoria dos Jogos é um ramo da matemática aplicada que estuda as interações entre os objetos. Muito mais ampla do que entendemos por jogo ou jogadores, a teoria dos jogos é amplamente utilizada em estudos de biologia, sociologia, economia, ciência da computação etc.

            Um jogo na matemática pode ser entendido como uma interação entre dois sujeitos, que podem ser pessoas, animais, empresas etc. Aqui é para abrir a cabeça mesmo. Existem diversas classificações para os jogos, podemos ter jogos sequenciais, jogos de soma zero, jogos infinitos etc. O objetivo deste texto é apresentar um breve estudo matemático por meio do dilema do prisioneiro.

            A Teoria dos Jogos se baseia nas estratégias que os jogadores tomam nos jogos, ou seja, as ações que você pode escolher e realizar durante um jogo. O nosso objetivo sempre vai ser a melhor tomada de decisão, que nos gere uma maior bonificação ou que minimize os meus prejuízos. Vamos ao dilema do prisioneiro, um exemplo de jogo de soma zero.

            O Dilema do Prisioneiro

            Suponha que dois homens são suspeitos de um crime e que a polícia não possui provas muito contundentes que possa incriminar um ou outro. Para isso, a polícia dá a oportunidade da “Delação Premiada”, ou seja, um dos suspeitos pode “entregar” o outro, dando as provas que a polícia precisa para incriminar de forma contundente. É importante dizer que cada “jogador” (prisioneiro) pensará individualmente, eles são colocados em salas diferentes e poderão negar qualquer envolvimento com o crime ou delatar o outro suspeito.

            Assim sendo, a polícia faz o seguinte acordo com os prisioneiros: se ambos negarem o crime, serão condenados a 1 anos de prisão. Se um deles delatar o companheiro, então, ficará livre e o seu companheiro ficará preso por 10 anos. Agora, se ambos delatarem o companheiro, ficarão presos por 5 anos.

            O dilema consiste em “delatar” ou não o companheiro. Visto que, delatando, um dos prisioneiros poderia sair livre, bastando que o outro negue o crime para o polícia. Ao mesmo tempo que, delatando, o suspeito corre o risco de ficar 5 anos na cadeia, caso o outro suspeito também delate. Vamos montar uma matriz com os possíveis casos:

Agora pare um pouquinho o texto e tente pensar na melhor solução, imagine por um momento que você seja o suspeito A e não sabe o que o suspeito B irá fazer.

Esse problema tem uma “melhor solução”, na verdade todo jogo possui uma melhor solução, chamamos isso na matemática de Equilíbrio de Nash (John Nash).

Neste caso, vamos nos colocar no papel do suspeito A. Supondo que o suspeito B negue, a melhor solução seria a gente delatar o suspeito B e, então, sair livre (novamente, estamos pensando individualmente, sem amizade, só por benefício próprio). Agora, supondo que o suspeito B delate, a melhor solução também seria a de eu delatar, pois, assim, eu teria uma pena de apenas 5 anos e em caso de negação, ela seria de 10. Ou seja, em ambas as suposições, a delação foi a melhor solução. Isto é, o caso em que o suspeito A delata e o suspeito B também delata, é o equilíbrio de Nash.

Na Teoria dos Jogos chamamos essa resolução de estratégia dominante, mas nem sempre os jogos possuem uma dessas estratégias. Se você quiser saber um pouquinho mais sobre o John Nash, assista ao filme “Uma Mente Brilhante”, uma obra-prima que vai muito além da matemática. Juro que não precisa ficar fazendo conta para entender o filme.

Créditos
Texto: Professor Pedro Lourenço Mendes Júnior (Matemática)
Imagem: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0f/Prison.jpg